Question

2．设函数f（x）=|x+a²|+|x-b²|，其中a，b为实数，
（1）若a²+b²-2a+2b+2=0，解关于x的不等式f（x）≥3；
（2）若a+b=4，证明：f（x）≥8．

Answer 1

分析 （1）由条件求得a=1，b=-1，再利用绝对值的意义求得f（x）=|x+1|+|x-1|≥3 的解集．
（2）由条件利用基本不等式求得a²+b²≥8，再利用绝对值三角不等式证得结论．

解答 解：（1）∵a²+b²-2a+2b+2=（a-1）²+（b+1）²=0，∴a=1，b=-1．
∴函数f（x）=|x+a²|+|x-b²|=|x+1|+|x-1|≥3．
由于|x+1|+|x-1|表示数轴上的x对应点到-1、1对应点的距离之和，
而0.5和-0.5对应点到-1、1对应点的距离之和正好等于3，
故f（x）=|x+1|+|x-1|≥3 的解集为{x|x≤-0.5，或 x≥1.5}．
（2）证明：∵a+b=4，∴a²+b²+2ab=16≤2（a²+b²），∴a²+b²≥8． 
∴f（x）=|x+a²|+|x-b²|=|x+a²|+|x-b²|≥|（x+a²）-（x-b²）|=|a²+b²|≥8，
当且仅当a=b时，取等号，即f（x）≥8．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值三角不等式，基本不等式的应用，属于中档题．