Question

5．已知函数f（x）对一切x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时有f（x）＞0．
（1）求证f（x）是奇函数；
（2）判断并证明f（x）在R上的单调性； 
（3）若f（2）=$\frac{4}{3}$，求f（x）在[-3，3]上的最值．

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性的定义，结合抽象函数，证明f（x）为奇函数；
（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性；  
（3）利用条件关系先求出f（1），结合函数单调性的性质进行求解即可．

解答 解：（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
令y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x），∴函数f（x）是奇函数．
（2）设x₁＜x₂，则设x₂-x₁＞0，此时f（x₂-x₁）＞0，
即f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0，则f（x₂）＞f（x₁），
即f（x）的单调递增；  
（3）∵f（x）在（-∞，+∞）上的单调递增，
∴f（x）在[-3，3]上的最大值为f（3），最小值为f（-3），
若f（2）=$\frac{4}{3}$，则f（2）=f（1）+f（1）=$\frac{4}{3}$，
即f（1）=$\frac{2}{3}$，
则f（3）=f（1）+f（2）=$\frac{4}{3}$+$\frac{2}{3}$=2，
即f（-3）=-f（3）=-2，
即f（x）在[-3，3]上的最大值为2．最小值为-2．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用抽象函数研究函数的奇偶性和单调性，利用赋值法是解决本题的关键．