Question

【题目】设三角形的边长为不相等的整数，且最大边长为n，这些三角形的个数为an.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）在1，2，…，100中任取三个不同的整数，求它们可以是一个三角形的三条边长的概率.

附：1+22+32+…+n2；1+23+33+…+n3

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】

（1）设x，y，n为满足题意的三角形的边长，不妨设x＜y＜n，则x+y＞n.若，三角形不存在，，时，按奇偶分类，为偶数，最小值为，为偶数，最小值为，然后依次得出的所有可能，从而得三角形的个数，相加后可得；

（2）根据（1）用所给公式求出，而100个数中任取3个的方法数是，由此可计算概率．

（1）设x，y，n为满足题意的三角形的边长，不妨设x＜y＜n，则x+y＞n.

由题意知：a1＝a2＝a3＝0，

当n≥4时，且n为偶数时，若y，三角形不存在，

若y，x，

若，x.

…，

若y＝n﹣1，x＝2，3，…，n﹣2，

所以：an＝1+3+…+（n﹣3）.

同理，当n＞4时，且n为奇数时，可得：，

所以数列{an}的通项公式为.

（2）根据求和公式，

＝（12+22+32+…+492）+12+22+…+482+（1+2+3+…+48），

，

.

所求的概率为.