题目内容
【题目】如图四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
为线段
上一点，
，
为
的中点.
（1）证明
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）取
中点
，连接
，
，由三角形的中位线定理可得
，结合已知条件说明四边形
为平行四边形，可得
，由线面平行的判定定理可得结果；
（2）取
的中点
，连接
，由
得
，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面
的法向量
，求出
即可得结果.
（1）证明：如图，取中点，连接，，
∵
为
的中点，∴，且
，
又
，且
，
∴
，且
，
∴四边形为平行四边形，则，
∵
平面
，
平面，
∴
平面.
（2）取的中点，连接，由得，
且
，
以
为原点，
的方向为
轴的正方向，
的方向为
轴的正方向，
的方向为
轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知：
，
，
，
，
，
，
，
设
为平面的法向量，则
,
即
，可取，
于是
，
∴直线
与平面所成角的正弦值为.
【题目】交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：
交强险浮动因素和浮动费率比率表 | ||
浮动因素 | 浮动比率 | |
| 上一年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮10% |
| 上两年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮 |
| 上三年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮30% |
| 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% |
| 上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故 | 上浮10% |
| 上一个年度发生有责任交通死亡事故 | 上浮30% |
某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
类型 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 |
数量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：
（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，
，记
为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）
（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元:
①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；
②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值.
