Question

19．已知函数f（x）=x²-lnx．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；
（2）令导数大于0，可得增区间，注意定义域；
（3）求得f（x）的单调区间，即可得到所求极值．

解答 解：（1）函数f（x）=x²-lnx的导数为f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=1，
切点为（1，1），
即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-1=x-1，
即为y=x；
（2）由f′（x）＞0，即2x-$\frac{1}{x}$＞0，（x＞0），
解得x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
则函数的递增区间为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）；
（3）当x＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$处f（x）取得极小值，且为$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$ln2，无极大值．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，考查运算能力，属于基础题．