Question

9．已知圆C：x²+y²=4，动抛物线过A（-1，0），B（1，0）两点，且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$$+\frac{{y}^{2}}{3}$=1（y≠0）．

Answer 1

分析 可设焦点为P，根据抛物线的定义便有|PA|+||PB|=d₁+d₂，d₁，d₂分别表示点A，B到切线的距离，而能够知道该距离等于原点O到切线距离的2倍，从而得出|PA|+|PB|=4，这样便可得出抛物线的焦点轨迹为椭圆．

解答 解：画出抛物线的大致图象如下：
根据抛物线的定义知：A，B两点到焦点P的距离和等于A，B两点到准线距离的和；
而A，B两点到准线的距离和等于O到准线距离和的2倍；
∴|PA|+|PB|=4；
∴焦点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，∴a=2，c=1；
∴焦点的轨迹方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$（y≠0）．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1，（y≠0）$．

点评 考查抛物线的定义，梯形中位线的性质，抛物线的焦点和准线的概念，以及椭圆的定义．