Question

13．已知f（x+1）是周期为2的奇函数，当-1≤x≤0时，f（x）=-2x（x+1），则f（-$\frac{3}{2}$）的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． -$\frac{1}{4}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由已知f（x）为周期为2的函数，得出f（x+2）=f（x），由f（x+1）是奇函数，有f（-x+1）=-f（x+1），即可得出f（x）=-f（2-x），化简得出f（-$\frac{3}{2}$）=-f（-$\frac{1}{2}$），运用解析式求解即可．

解答 解：∵f（x+1）是周期为2的奇函数，
∴f（x）为周期为2的函数，
即f（x+2）=f（x）
由f（x+1）是奇函数，有f（-x+1）=-f（x+1），
即f（x）=-f（2-x），
故$f（-\frac{3}{2}）=f（\frac{1}{2}）=-f（\frac{3}{2}）=-f（-\frac{1}{2}）$，
而-1≤x≤0时，
f（x）=-2x（x+1），
所以$f（-\frac{1}{2}）=-2（-\frac{1}{2}）（-\frac{1}{2}+1）=\frac{1}{2}$，$f（-\frac{3}{2}）=-\frac{1}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查了函数的奇偶性，周期性的定义，性质，化简转化求解函数值，属于中档题，关键是对变量的理解．