题目内容

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1 . (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)令cn= ,求数列{cn}的前n项和Tn

【答案】解:(Ⅰ)Sn=3n2+8n, ∴n≥2时,an=Sn﹣Sn1=6n+5,
n=1时,a1=S1=11,∴an=6n+5;
∵an=bn+bn+1
∴an1=bn1+bn
∴an﹣an1=bn+1﹣bn1
∴2d=6,
∴d=3,
∵a1=b1+b2
∴11=2b1+3,
∴b1=4,
∴bn=4+3(n﹣1)=3n+1;
(Ⅱ)cn= = =6(n+1)2n
∴Tn=6[22+322+…+(n+1)2n]①,
∴2Tn=6[222+323+…+n2n+(n+1)2n+1]②,
① ﹣②可得﹣Tn=6[22+22+23+…+2n﹣(n+1)2n+1]=12+6× ﹣6(n+1)2n+1=(﹣6n)2n+1=﹣3n2n+2
∴Tn=3n2n+2
【解析】(Ⅰ)求出数列{an}的通项公式,再求数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)求出数列{cn}的通项,利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn
【考点精析】根据题目的已知条件,利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.

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