Question

【题目】如图，平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是AE，DF的交点．

（1）求证：GH∥平面CDE；
（2）求证：BD⊥平面CDE．

Answer 1

【答案】
（1）证明：G是AE，DF的交点，∴G是AE中点，又H是BE的中点，

∴△EAB中，GH∥AB，

∵AB∥CD，∴GH∥CD，

又∵CD平面CDE，GH平面CDE

∴GH∥平面CDE

（2）证明：平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，

∵ED⊥AD，ED平面ADEF

∴ED⊥平面ABCD，

∴ED⊥BD，

又∵BD⊥CD，CD∩ED=D

∴BD⊥平面CDE．

【解析】（1）欲证GH∥平面CDE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证GH与平面CDE内一直线平行，而G是AE，DF的交点，G是AE中点，又H是BE的中点，则GH∥AB，而AB∥CD，则GH∥CD，CD平面CDE，GH平面CDE，满足定理所需条件．（2）欲证BD⊥平面CDE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BD与平面CDE内两相交直线垂直，根据平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，ED⊥AD，ED平面ADEF，则ED⊥平面ABCD，从而ED⊥BD，BD⊥CD，CD∩ED=D，满足定理所需条件．
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．