题目内容
【题目】已知椭圆 
+ 
=1（a＞b＞0）的离心率为 
，且过点（ 
， 
）．
（1）求椭圆方程；
（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2 ， 满足4k=k1+k2 ， 试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
【答案】
（1）解：依题意可得 
，解得a=2，b=1
所以椭圆C的方程是 
（2）解：当k变化时，m2为定值，证明如下：
由 
得，（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2）．则x1+x2= 
，x1x2= 
…（）
∵直线OP、OQ的斜率依次为k1，k2，且4k=k1+k2，
∴4k= 
= 
，得2kx1x2=m（x1+x2），
将（）代入得：m2= 
，
经检验满足△＞0．
【解析】（1）利用已知条件列出方程组求解椭圆的几何量，得到椭圆的方程．（2）联立直线与椭圆方程，设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）．利用韦达定理，通过直线OP、OQ的斜率依次为k1 ， k2 ， 且4k=k1+k2 ， 求解即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：
，焦点在y轴：
．
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