题目内容
【题目】如图,已知多面体,
,
,
均垂直于平面ABC,
,
,
,
(1)证明:平面
;
(2)求平面与平面
所成的锐角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系O﹣xyz,利用向量法能证明AB1⊥平面A1B1C1.
(2)求出平面AB1C1的一个法向量和平面ABB1的一个法向量,利用向量法能求出平面AB1C1与平面ABB1所成的角的余弦值.
(1)由,
,
均垂直于平面ABC,则平面
平面ABC
∴取AC中点O,过O作平面ABC的垂线OD,交A1C1于D,
∵AB=BC,∴OB⊥OC,
∵AB=BC=2,∠BAC=120°,∴OB=1,OA=OC,
以O为原点,以OB,OC,OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示:
则A(0,,0),B(1,0,0),B1(1,0,2),C1(0,
,1),A1(0,
,4),
∴(1,
,0),
(0,2
,1),
,
,
由,得
.
由,得
,
∴平面
.
(2)设平面的一个法向量为
,
则由,得
.
设平面ABB1的法向量为,则
,
∴,令y=1可得
(
,1,0),
∴,
∴平面与平面
所成的锐角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】近年电子商务蓬勃发展, 年某网购平台“双
”一天的销售业绩高达
亿元人民币,平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出
次成功交易,并对其评价进行统计,网购者对商品的满意率为
,对快递的满意率为
,其中对商品和快递都满意的交易为
次.
(1)根据已知条件完成下面的列联表,并回答能否有
的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”?
对快递满意 | 对快递不满意 | 合计 | |
对商品满意 | |||
对商品不满意 | |||
合计 |
(2)若将频率视为概率,某人在该网购平台上进行的次购物中,设对商品和快递都满意的次数为随机变量
,求
的分布列和数学期望
.
附: (其中
为样本容量)