题目内容

【题目】某中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名.为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核.

（Ⅰ）求抽取的5人中男、女同学的人数；

（Ⅱ）考核前，评估小组打算从抽取的5人中随机选出2名同学进行访谈，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率.

【答案】(Ⅰ)男同学的人数为3，女同学的人数为32.(Ⅱ) .

【解析】试题分析：本题主要考查分层抽样、随机事件的概率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用分层抽样中各层的“样本容量÷总容量”均相等，求出男同学和女同学人数；第二问，结合第一问的结论，将抽取的5人用字母表示出来，分别写出5人中任取2人的情况，在总数10种中选出符合题意的6种情况，再求概率.

试题解析：（1）抽取的5人中男同学的人数为，女同学的人数为. 4分

（2）记3名男同学为，2名女同学为.从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有 ，共10个. 7分

用表示：“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件，则中的结果有6个，它们是： . 10分

所以 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率[Failed to download image : http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2015/4/13/1572069106720768/1572069112365056/EXPLANATION/c126479f438e40f5b341b899ee0cfe87.png]. 12分

练习册系列答案
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③sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°；

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⑤sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos55°

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（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为一三角恒等式sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sinαcos（30°﹣α）= ，并证明你的结论．

（参考公式：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ，cos（α±β）=cosαcosβsinαsinβsin2α=2sinαcosα，cos2α=cos2α﹣sin2α=2cos2α﹣1=1﹣2sin2α）

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