题目内容

【题目】已知数列的前项和为 ,数列满足在直线上.

(1)求数列 的通项

(2)令,求数列的前项和

(3)若,求对所有的正整数都有成立的的范围.

【答案】(1) ;(2)

【解析】试题分析:(1)通过作差,进而整理可知数列是首项为、公比为2的等比数列,通过将点代入直线计算可知,进而整理即得结论;(2)利用错位相减法计算即得结论;(3)通过(1)及作差法计算可知数列为单调递减数列,进而问题转化为求的最小值,利用基本不等式计算即得结论.

试题解析:(1)解: ,当时, 是首项为,公比为2的等比数列因此时,满足所以因为在直线上,所以所以.

(2)因此③-④得:

(3)证明:由(1)知 ,∵ 数列为单调递减数列;时, 最大值为1,可得 ,而当时, 当且仅当时取等号,.

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