Question

15．如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB=θ．
（1）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？
（2）若tanθ=$\frac{1}{2}$，当a变化时，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；
（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．

解答 解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD=EF，
设∠ACD=α，∠BCD=β，CD=x，则θ=α-β，
在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα=$\frac{2.5}{x}$，tanβ=$\frac{0.5}{x}$，
则tanθ=tan（α-β）=$\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{2x}{{x}^{2}+1.25}$（x＞0），
令u=$\frac{2x}{{x}^{2}+1.25}$，则ux²-2x+1.25u=0，
∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，
即4-4×1.25u²≥0，∴u≤$\sqrt{\frac{1}{1.25}}$，即（tanθ）_max=$\sqrt{\frac{1}{1.25}}$，
∵正切函数y=tanx在（0，$\frac{π}{2}$）上是增函数，
∴视角θ同时取得最大值，
此时，x=$\frac{2}{2u}$=$\sqrt{1.25}$，
∴观察者离墙$\sqrt{1.25}$米远时，视角θ最大；
（2）由（1）可知，tanθ=$\frac{1}{2}$=$\frac{\frac{4-a}{x}-\frac{2-a}{x}}{1+\frac{4-a}{x}•\frac{2-a}{x}}$=$\frac{2x}{{x}^{2}+8-6a+{a}^{2}}$，
即x²-4x+4=-a²+6a-4，
∴（x-2）²=-（a-3）²+5，
∵1≤a≤2，
∴1≤（x-2）²≤4，
化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，
又∵x＞1，
∴3≤x≤4．

点评 本题考查应用两角和的正切公式及其函数的单调性与最值，注意解题方法的积累，属于中档题．