Question

15．若关于x的不等式（a²-a）•4^x-2^x-1＜0在区间（-∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-2，$\frac{1}{4}$）
• B． （-∞，$\frac{1}{4}$）
• C． （-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）
• D． （-∞，6]

Answer 1

分析 令t=2^x，转化为关于x的不等式（a²-a）•t²-t-1＜0在区间（0，2]上恒成立，通过讨论①a²-a=0，②a²-a≠0时的情况，结合二次函数的性质，得到不等式组，解出即可．

解答 解：令t=2^x，∵x∈（-∞，1]，∴t∈（0，2]，
关于x的不等式（a²-a）•4^x-2^x-1＜0在区间（-∞，1]上恒成立，
转化为关于x的不等式（a²-a）•t²-t-1＜0在区间（0，2]上恒成立，
①a²-a=0，即a=0或a=1时，不等式为：-t-1＜0在（0，2]恒成立，显然成立，
②a²-a≠0时，令f（t）=（a²-a）•t²-t-1，
若f（t）＜0在区间（0，2]上恒成立，
只需$\left\{\begin{array}{l}{f（0）≤0}\\{f（2）＜0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{-1＜0}\\{4{（a}^{2}-a）-2-1＜0}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{3}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查了函数恒成立问题，考查二次函数、一次函数的性质，考查换元思想，是一道中档题．