Question

如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.
(Ⅰ) 求证：平面；
(Ⅱ) 求二面角的余弦值.

Answer 1

(1)证明见解析(2) －

（Ⅰ）由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．
建立空间直角坐标系如图，则, ．
由M为PB中点，∴．
∴．
∴，
．
∴PA⊥DM，PA⊥DC．  ∴PA⊥平面DMC．                             
（Ⅱ）)．令平面BMC的法向量，
则，从而x+z=0； ……①, ，从而． ……②
由①、②，取x=?1，则．  ∴可取．
由(II)知平面CDM的法向量可取，
∴． ∴所求二面角的余弦值为－．