题目内容
7．设x=m和x=n是函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}{x}^{2}$-（a+2）x的两个极值点，其中m＜n，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；
（2）求f（m）+f（n）的取值范围．
分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由题意可得k=0，解方程即可得到a的值；
（2）确定函数f（x）的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求f（m）+f（n）的取值范围．
解答 解：（1）f（x）的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$+x-（a+2），
曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线斜率为k=1+1-a-2=0，
解得a=0；
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+x-（a+2）=$\frac{{x}^{2}-（a+2）x+1}{x}$，
依题意，方程x2-（a+2）x+1=0有两个不等的正根m，n（其中m＜n）．
故$\left\{\begin{array}{l}{（a+2）^{2}-4＞0}\\{a+2＞0}\end{array}\right.$，解得a＞0，
并且m+n=a+2，mn=1．
所以f（m）+f（n）=lnmn+$\frac{1}{2}$（m2+n2）-（a+2）（m+n）
=$\frac{1}{2}$[（m+n）2-2mn]-（a+2）（m+n）=-$\frac{1}{2}$（a+2）2-1＜-3，
故f（m）+f（n）的取值范围是（-∞，-3）．
点评 本题考查导数知识的运用，考查切线的方程，考查函数的极值，主要考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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7．在圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中，若D2=E2=4F，则（ ）
| A． | 与两坐标轴相切 | B． | 与两坐标轴均不相交 | ||
| C． | 与坐标轴上截得不相等的线段 | D． | 在坐标轴上截得相等的线段 |
如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，M、N是它与x轴的两个交点，D、C分别为它的最高点和最低点，点F（0，1）是线段MD的中点，$\overrightarrow{MD}$•$\overrightarrow{MN}$=$\frac{{π}^{2}}{18}$．