题目内容
12．某中学教职工春季竞走比赛在校田径场隆重举行，为了解高三年级男、女两组教师的比赛用时情况，体育组教师从两组教师的比赛成绩中，分别各抽取9名教师的成绩（单位：分钟），制作成下面的茎叶图，但是女子组的数据中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示，规定：比赛用时不超过19分钟时，成绩为优秀．（1）若男、女两组比赛用时的平均值相同，求a的值；
（2）求女子组的平均用时高于男子组平均用时的概率；
（3）当a=3时，利用简单随机抽样的方法，分别在茎叶图两组成绩为“非优秀”的数据中各抽取一个做代表，设抽取的两个数据中用时超过22（分钟）的个数为X，求X的分布列和数学期望．
分析 （1）依题意，得$\frac{1}{9}（18+15+16+19+13+21+25+20+23）$=$\frac{1}{9}（18+16+15+19+$19+13+26+21+20+a），由此能求出a的值．
（2）设“女子组的平均用时超过男子组平均用时”为事件A，依题意a=0，1，2，…9，共有10种可能，由此能求出女子组的平均用时超过男子组平均用时的概率．
（3）成绩为“非优秀”即为用时超过19分钟，男子组平均用时超过19分钟的有4个，超过22分钟的有2个，女子组平均用时超过19分钟的有3个，超过22分钟的有2个，从而X的所有可能值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．
解答 解：（1）依题意，得：
$\frac{1}{9}（18+15+16+19+13+21+25+20+23）$=$\frac{1}{9}（18+16+15+19+$19+13+26+21+20+a），
解得 a=3．
（2）设“女子组的平均用时超过男子组平均用时”为事件A，
依题意a=0，1，2，…9，共有10种可能，
由（1）可知，当a=3时男女两组平均用时相同，
所以当a=4时女子组的平均用时超过男子组平均用时，共有6种可能，
所以女子组的平均用时超过男子组平均用时的概率为$P（A）=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
（3）成绩为“非优秀”即为用时超过19分钟，男子组平均用时超过19分钟的有4个，超过22分钟的有2个，
女子组平均用时超过19分钟的有3个，超过22分钟的有2个，
所以X的所有可能值为0，1，2，
则$P（{X=0}）\frac{C_2^1C_1^1}{C_3^1C_4^1}=\frac{1}{6}$，$P（{X=1}）\frac{C_2^1C_1^1+C_2^1C_2^1}{C_3^1C_4^1}=\frac{1}{2}$，$P（{X=2}）\frac{C_2^1C_2^1}{C_3^1C_4^1}=\frac{1}{3}$，
所以X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 |
| P | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{3}$ |
点评 本题考查实数值的求法，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270．
关于上述样本的下列结论中，不正确的是（ ）
| A． | ①可能是分层抽样，也可能是系统抽样 | |
| B． | ②可能是分层抽样，不可能是系统抽样 | |
| C． | ③可能是分层抽样，也可能是系统抽样 | |
| D． | ④可能是分层抽样，也可能是系统抽样 |
| A． | $\frac{3}{2}$ | B． | $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ | C． | -$\frac{3\sqrt{2}}{2}$ | D． | ±$\frac{3\sqrt{2}}{2}$ |