题目内容
【题目】在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），曲线
的参数方程为
（
为参数）.
（1）求曲线，的普通方程；
（2）已知点
，若曲线，交于
，
两点，求
的值.
【答案】（1）
；
（2）
【解析】
（1）用消参法可得两曲线的普通方程，曲线
可直接用代入法，曲线
的方程需变形为
，再用代入消元法转化；
（2）
是双曲线的左焦点，直线：过右焦点
，
都在双曲线的右支上，这样由双曲线的定义可得
，直线的参数方程
是以为起点的标准参数方程，利用
的几何意义可得
，把直线参数方程代入双曲线方程应用韦达定理即得．
解：（1）由得，
由
得，则.
（2）由可知
为左焦点，直线过右焦点
，
又直线斜率
（一条渐近线的斜率），所以点
，
在双曲线的右支，
所以
，
令点，对应的参数分别为
，
，
由代入得
，
则
，
，
∴
.
【题目】某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数
与烧开一壶水所用时间
的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.
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1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中
，
.
（1）根据散点图判断，
与
哪一个更适宜作烧开一壶水时间关于开关旋钮旋转的弧度数
的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；
（3）若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量
成正比，那么为多少时烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
.
【题目】2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年,也是佛山在经济总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点.作为制造业城市,佛山一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置,聚焦打造成为面向全球的国家制造业创新中心,走“世界科技+佛山智造+全球市场”的创新发展之路.在推动制造业高质量发展的大环境下,佛山市某工厂统筹各类资源,进行了积极的改革探索.下表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量x（
）（件）与相应的生产总成本y（万元）的四组对照数据.
x | 5 | 7 | 9 | 11 |
y | 200 | 298 | 431 | 609 |
工厂研究人员建立了y与x的两种回归模型,利用计算机算得近似结果如下：
模型①：
模型②：
.
其中模型①的残差（实际值－预报值）图如图所示：
（1）根据残差分析,判断哪一个模型更适宜作为y关于x的回归方程？并说明理由；
（2）市场前景风云变幻,研究人员统计历年的销售数据得到每件产品的销售价格q（万元）是一个与产量x相关的随机变量,分布列为：
q |
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|
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P | 0.5 | 0.4 | 0.1 |
结合你对（1）的判断,当产量x为何值时,月利润的预报期望值最大？最大值是多少（精确到0.1）？
