Question

2．在直角坐标系xOy中，圆C₁：x²+y²=4，圆C₂：（x-2）²+y²=4．
（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C₁，C₂的极坐标方程，并求出圆C₁，C₂交点的直角坐标；
（Ⅱ）求圆C₁与C₂的公共弦所在直线的极坐标方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用极坐标与直角坐标的互化，求出圆C₁，C₂的极坐标方程，求出圆C₁，C₂交点的直角坐标；
（Ⅱ）利用圆C₁与C₂的解得的直角坐标，求出公共弦所在直线的极坐标方程．

解答 （本题满分10分） 选修4-4：极坐标与参数方程
解：（Ⅰ）圆C₁的极坐标方程为ρ=2，
圆C₂的极坐标方程ρ=4cosθ．
解$\left\{\begin{array}{l}ρ=2\\ ρ=4cosθ\end{array}$，得ρ=2，θ=±$\frac{π}{3}$，
故圆C₁与圆C₂交点的坐标为（2，$\frac{π}{3}$），（2，-$\frac{π}{3}$）．
注：极坐标系下点的表示不唯一．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}$，得圆C₁与C₂交点的直角坐标分别为（1，$\sqrt{3}$），（1，-$\sqrt{3}$）．
故圆C₁与C₂的公共弦的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=t\end{array}$，-$\sqrt{3}$≤t≤$\sqrt{3}$．
极坐标方程为：ρ=$\frac{1}{cosθ}$．

点评 本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查转化思想以及计算能力．