Question

14．（Ⅰ）已知某椭圆的左右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），且经过点$P（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{14}}}{4}）$，求该椭圆的标准方程以及离心率；
（Ⅱ）某圆锥曲线以坐标轴为对称轴，中心为坐标原点，且过点$（2，\sqrt{3}），（\frac{3}{2}，-\frac{{\sqrt{6}}}{4}）$，求该曲线的标准方程、焦点以及离心率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用椭圆的定义和两点的距离公式，可得a，再由条件可得c=1，b=1，进而得到椭圆方程和离心率；
（Ⅱ）设该曲线方程为mx²+ny²=1，代入两点的坐标，解方程可得m，n，进而得到所求标准方程和焦点、离心率．

解答 解：（Ⅰ）$|P{F_1}|+|P{F_2}|=2a=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{14}{16}}+\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{14}{16}}=2\sqrt{2}$，
所以$a=\sqrt{2}$，又c=1，可得b=1，
所以椭圆方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅱ）设该曲线方程为mx²+ny²=1，
将$（2，\sqrt{3}），（\frac{3}{2}，-\frac{{\sqrt{6}}}{4}）$代入可得$\left\{{\begin{array}{l}{4m+3n=1}\\{\frac{9}{4}m+\frac{3}{8}n=1}\end{array}}\right.$，
解得$m=\frac{1}{2}，n=-\frac{1}{3}$，
所以该方程为$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{3}=1$，
是焦点为$（±\sqrt{5}，0）$，离心率为$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$的双曲线．

点评 本题考查椭圆和双曲线的方程的求法，注意运用定义法和几何性质，考查运算能力，属于基础题．