题目内容
12．
如图，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为4的正三角形，D是BC的中点，A1D⊥平面ABC．（1）求证：BC⊥A1A；
（2）若A1A=6，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．
分析 （1）连接AD，则BC⊥AD，证明BC⊥平面A1DA，即可证明BC⊥A1A；
（2）若A1A=6，求出A1D=2$\sqrt{6}$，即可求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．
解答 
（1）证明：连接AD，则BC⊥AD，
∵A1D⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴A1D⊥BC，
∵A1D∩AD=D，
∴BC⊥平面A1DA，
∵BC⊥A1A；
（2）解：∵AD=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，A1D⊥AD，A1A=6，
∴A1D=2$\sqrt{6}$，
∴三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{4}^{2}×2\sqrt{6}$=8$\sqrt{2}$．
点评 本题考查线面垂直，考查三棱柱ABC-A1B1C1的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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