Question

4．函数f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A，B两点之间的距离为5，那么下列说法正确的是（　　）

• A． 函数f（x）的最小正周期为8
• B． f（3）=-$\frac{1}{2}$
• C． x=$\frac{3}{2}$是函数f（x）的一条对称轴
• D． 函数f（x）向右平移一个单位长度后所得的函数为偶函数

Answer 1

分析 由题意结合图象可求函数的解析式，逐个选项验证可得．

解答 解：设AB两点的水平距离为d，则d²+4²=5²，解得d=3，
∴函数的最小正周期为3×2=6，故A错误；
由周期为6可得ω=$\frac{π}{3}$，可得f（x）=2sin（$\frac{π}{3}$x+φ），
代入点（0，1）可得1=2sinφ，可取φ=$\frac{5π}{6}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{5π}{6}$），
∴f（3）=-1，故B错误；
令$\frac{π}{3}$x+$\frac{5π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得x=3k-1，k∈Z，
令3k-1=$\frac{3}{2}$可得k=$\frac{15}{2}$∉Z，故C错误；
又f（x）=2sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{5π}{6}$）向右平移一个单位长度后所得的函数
为y=2sin（$\frac{π}{3}$x-$\frac{π}{3}$+$\frac{5π}{6}$）=2sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{2}$）=2cos$\frac{π}{3}$x为偶函数，故D正确．
故选：D

点评 本题考查正弦函数的图象，涉及正弦函数的对称性和图象变换，属中档题．