题目内容
【题目】已知圆和点
,动圆
经过点
且与圆
相切,圆心
的轨迹为曲线
(1)求曲线的方程;
(2)点是曲线
与
轴正半轴的交点,点
在曲线
上,若直线
的斜率
满足
求
面积的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)利用圆与圆的位置关系,得出曲线是
为焦点,长轴长为
的椭圆,即可求曲线
的方程;(2)联立方程组
,得
,利用韦达定理,结合
,得出直线
过定点
,表示出面积,即可,求
面积的最大值.
试题解析:(1)圆的圆心为
,半径为
,点
在圆
内,因为动圆
经过点
且与圆
相切,所以动圆
与圆
内切.设动圆
半径为
,则
.因为动圆
经过点
,所以
,
,所以曲线
是
为焦点,长轴长为
的椭圆.由
.得
,所以曲线
的方程为
.
(2)直线斜率为0时,不合题意,设
,直线
,
联立方程组,得
,
,
又,知
.
代入得,
又,化简得
,
解得,故直线
过定点
,由
,解得
,
,
(当且仅当时取等号),综上,
面积的最大值为
.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程和最值问题,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用均值不等式法求三角形面积最大值的.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目