Question

9．在平面直角坐标系中，圆O：x²+y²=4与x轴的正半轴交于点A，以A为圆心的圆A：（x-2）²+y²=r²（r＞0）与圆O交于B，C两点．
（1）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当线段DE长最小时，求直线l的方程；
（2）设P是圆O上异于B，C的任意一点，直线PB、PC分别与x轴交于点M和N，问OM•ON是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由截距式设直线l的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0），从而可得$\frac{{|{ab}|}}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=2$，再由基本不等式可得$D{E^2}={a^2}+{b^2}=4（\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}）（{a^2}+{b^2}）≥16$，从而解得．
（2）设B（x₀，y₀），P（x₁，y₁）（y₁≠±y₀），则C（x₀，-y₀），$x_0^2+y_0^2=4$，$x_1^2+y_1^2=4$，写出直线PB与直线PC的方程，从而得到M，N的坐标，从而求OM•ON即可．

解答 解：（1）设直线l的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0），
即bx+ay-ab=0，
由直线l与圆O相切得$\frac{{|{ab}|}}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=2$，
即$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{4}$，
$D{E^2}={a^2}+{b^2}=4（\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}）（{a^2}+{b^2}）≥16$，
（当且仅当$a=b=2\sqrt{2}$时取等号），
此时直线l的方程为$x+y-2\sqrt{2}=0$．
（2）设B（x₀，y₀），P（x₁，y₁）（y₁≠±y₀），
则C（x₀，-y₀），$x_0^2+y_0^2=4$，$x_1^2+y_1^2=4$，
直线PB的方程为：$y-{y_1}=\frac{{{y_0}-{y_1}}}{{{x_0}-{x_1}}}（x-{x_1}）$，
直线PC的方程为：$y-{y_1}=\frac{{-{y_0}-{y_1}}}{{{x_0}-{x_1}}}（x-{x_1}）$，
分别令y=0，得${x_M}=\frac{{{x_1}{y_0}-{x_0}{y_1}}}{{{y_0}-{y_1}}}，{x_N}=\frac{{{x_1}{y_0}+{x_0}{y_1}}}{{{y_0}+{y_1}}}$，
所以OM•ON=$|{{x_M}{x_N}}|=|{\frac{x_1^2y_0^2-x_0^2y_1^2}{y_0^2-y_1^2}}|=|{\frac{（4-y_1^2）y_0^2-（4-y_0^2）y_1^2}{y_0^2-y_1^2}}|=4$为定值．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系的应用及化简运算的能力，属于中档题．