题目内容
12．过点A（0，1）且与双曲线x2-y2=4仅有一个公共点的直线共有（ ）条．| A． | 2 | B． | 3 | C． | 4 | D． | 5 |
分析 用代数法，先联立方程，消元后得到一个方程，先研究相切的情况，即判别式等于零，再研究与渐近线平行的情况．
解答 解：设过点（0，1）与双曲线x2-y2=4有且只有一个公共点的直线为y=kx+1．
根据题意：$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x}^{2}-{y}^{2}=4\end{array}\right.$，
消去y整理得（1-k2）x2-2kx-5=0，
∵△=0，
∴k=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
又注意直线恒过点（0，1）且渐近线的斜率为±1，
又过该点的直线与渐近线平行时也成立．
故过点（0，1）与双曲线x2-y2=4有且只有一个公共点的直线有4条．
故选：C．
点评 本题主要考查直线与双曲线的位置关系，在只有一个公共点时，不要忽视了与渐近线平行的情况．
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