题目内容

1.已知函数f(x)=ex-x+$\frac{1}{2}$x2
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)设g(x)=ex+$\frac{1}{2}$x2-2lnx+a-1-f′(x),若g(x)≥0,求实数a的取值范围.

分析 (1)求出f(x)的导数,求得切线的斜率和切点,由点斜式方程,可得切线方程;
(2)化简g(x),运用参数分离,构造函数,求得导数和单调区间、极值也为最值,可得a的范围.

解答 解:(1)函数f(x)=ex-x+$\frac{1}{2}$x2的导数为f′(x)=ex-1+x,
曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=e,
切点为(1,e-$\frac{1}{2}$),
即有曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e-$\frac{1}{2}$)=e(x-1),
即为ex-y-$\frac{1}{2}$=0;
(2)由于f′(x)=ex-1+x,
则g(x)=ex+$\frac{1}{2}$x2-2lnx+a-1-f′(x)=$\frac{1}{2}$x2-2lnx+a-x,
由已知,g(x)≥0,只需$\frac{1}{2}$x2-2lnx+a-x≥0,
即a≥x-$\frac{1}{2}$x2+2lnx,
设h(x)=x-$\frac{1}{2}$x2+2lnx(x>0),
则′(x)=1-x+$\frac{2}{x}$=-$\frac{(x+1)(x-2)}{x}$,
令h′(x)=0,得x=2;令h′(x)>0,得0<x<2;
令h′(x)<0,得x>2,
即有h(x)在(0,2)上是增函数;在(2,+∞)上为减函数.
则h(x)max=h(2)=2ln2,即有a≥2ln2,
故a的范围是[2ln2,+∞).

点评 本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间、极值以及最值,同时考查不等式恒成立问题的解法,属于中档题.

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