Question

13．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=-3n+104，求数列{|a_n|}前n项和T_n．

Answer 1

分析 设数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n=$\frac{n（101+104-3n）}{2}$，由a_n≥0，解得n≤34．当n≤34时，数列{|a_n|}前n项和T_n=S_n．当n≥35时，数列{|a_n|}前n项和T_n=2S₃₄-S_n，即可得出．

解答 解：设数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n=$\frac{n（101+104-3n）}{2}$=$-\frac{3}{2}{n}^{2}$+$\frac{205}{2}n$．
由a_n=-3n+104≥0，解得$n≤34+\frac{2}{3}$，因此n≤34．
当n≤34时，数列{|a_n|}前n项和T_n=a₁+a₂+…+a_n=S_n=$-\frac{3}{2}{n}^{2}$+$\frac{205}{2}n$．
当n≥35时，数列{|a_n|}前n项和T_n=a₁+a₂+…a₃₄-a₃₅-…-a_n
=2S₃₄-S_n
=$2×（-\frac{3}{2}×3{4}^{2}+\frac{205}{2}×34）$-（$-\frac{3}{2}{n}^{2}$+$\frac{205}{2}n$）
=3502+$\frac{3}{2}{n}^{2}$-$\frac{205}{2}n$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{205}{2}n，n≤34}\\{\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{205}{2}n+3502，n≥35}\end{array}\right.$（n∈N^*）．

点评 本题考查了含绝对值的数列求和问题、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．