题目内容

设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),
当0≤x≤1时,f(x)=x.
(1)求f(3)的值;
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积.
(1)-1       (2)4
解:(1)由f(x+2)=-f(x)得,
f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数,
所以f(3)=f(3-4)=-f(1)=-1.
(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)=f(1-x).
故知函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称.
又0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图像关于原点成中心对称,则-1≤x≤0时,f(x)=x,则f(x)的图像如图所示.

当-4≤x≤4时,设f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S,
则S=4SOAB=4×=4.
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