题目内容
7．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，将曲线C1$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2和$\frac{1}{2}$后得到曲线C2．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；
（2）已知直线1：ρ（cosθ+2sinθ）=4，点P在曲线C2上，求点P到直线l的距离的最小值．
分析 （1）先求出曲线C1的普通方程，再求曲线C1的极坐标方程为ρ2=1．由伸缩变换得曲线C2$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}=cosθ}\\{2y=sinθ}\end{array}\right.$，由此能求出曲线C2的普通方程．
（2）先求出直线l的直角坐标，设P（2cosθ，$\frac{sinθ}{2}$），求出点P到直线l的距离，利用三角函数的性质能求出点P到直线l的距离的最小值．
解答 解：（1）∵将曲线C1$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
∴曲线C1的普通方程为x2+y2=1，
∴曲线C1的极坐标方程为ρ2=1．
∵曲线C1$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2和$\frac{1}{2}$后得到曲线C2，
∴曲线C2$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}=cosθ}\\{2y=sinθ}\end{array}\right.$，
∴曲线C2的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+4{y}^{2}$=1．
（2）∵直线1：ρ（cosθ+2sinθ）=4，
∴直线l的直角坐标方程为x+2y-4=0，
∵点P在曲线C2上，∴设P（2cosθ，$\frac{sinθ}{2}$），
∴点P到直线l的距离d=$\frac{|2cosθ+sinθ-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|\sqrt{5}sin（θ+α）-4|}{\sqrt{5}}$≥$\frac{4-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}-5}{5}$．
∴点P到直线l的距离的最小值为$\frac{4\sqrt{5}-5}{5}$．
点评 本题考查曲线的极坐标方程、普通方程的求法，考查点到直线的距离的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、参数方程、极坐标方程的相互转化公式的合理运用．
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，体对角线A1C与面对角线DB异面且垂直．| A． | 2 | B． | 2或-1 | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{1}{2}$或-1 |