题目内容
19.△ABC中,AB=6,AC=8,若$\overrightarrow{DB}$$+\overrightarrow{DC}$=0,则$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{BC}$=14.分析 以AC所在直线为x轴,以A为坐标原点建立平面直角坐标系,则B在以A为圆心,6为半径的圆上,设B(6cosθ,6sinθ),求出各向量的坐标,由$\overrightarrow{DB}$$+\overrightarrow{DC}$=0知D是BC的中点,故∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$),用坐标解出$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{BC}$.
解答 解:以AC所在直线为x轴,以A为坐标原点建立平面直角坐标系,则A(0,0),C(8,0),
∵AB=6,∴B在以A为圆心,6为半径的圆上,设B(6cosθ,6sinθ),(θ≠0).
∴$\overrightarrow{AB}$=(6cosθ,6sinθ),$\overrightarrow{AC}$=(8,0),$\overrightarrow{BC}$=(8-6cosθ,-6sinθ),
∵$\overrightarrow{DB}$$+\overrightarrow{DC}$=0,∴D是BC的中点,
∴$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$($\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$)=(3cosθ+4,3sinθ),
∴$\overrightarrow{AD}$$•\overrightarrow{BC}$=(3cosθ+4)(8-6cosθ)-18sin2θ=32-18cos2θ-18sin2θ=32-18=14.
故答案为:14.
点评 本题考查了平面向量的数量积运算,画出符合条件的图形,建立坐标系是关键.
A. | a2×${a}^{\frac{1}{2}}$=a | B. | a2÷${a}^{\frac{1}{2}}$=a | C. | (-a)2=-a2 | D. | ${(a}^{2})^{\frac{1}{2}}$=a |
A. | 2 | B. | -1 | C. | 0 | D. | $\frac{1}{2}$ |