题目内容
8.(1)已知$α∈(0,\frac{π}{2})$,化简$\frac{(sin2α+cos2α-1)(cosα+sinα)}{\sqrt{2-2cos2α}}$(2)已知tanβ=$\frac{1}{2}$,tan(α-β)=$\frac{1}{3}$,α,β均为锐角,求角α.
分析 (1)利用诱导公式以及二倍角公式化简求解即可.、
(2)利用角的变换,通过两角和的正弦函数求出α的正切函数值,即可求出结果.
解答 解 (1)$\frac{(sin2α+cos2α-1)(cosα+sinα)}{\sqrt{2-2cos2α}}$=$\frac{(2sinαcosα-2{sin}^{2}α)(cosα+sinα)}{\sqrt{2-2+4{cos}^{2}α}}$
=$\frac{2sinα(cosα-sinα)(cosα+sinα)}{2\left|sinα\right|}$…(3分)
因为α∈(0,$\frac{π}{2}$),所以sinα>0,…(4分)
所以原式=$\frac{2sinα(cosα-sinα)(cosα+sinα)}{2sinα}$
=cos2α-sin2α=cos2α…(6分)
(2)∵tanα=tan[β+(α-β)]…(7分)
=$\frac{tanβ+tan(α-β)}{1-tanβtan(α-β)}$…(8分)
=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=1…(10分)
又∵α为锐角…(11分)
∴α=$\frac{π}{4}$…(12分)
点评 本题考查三角函数的化简求值,两角和的正切函数,考查计算能力.
练习册系列答案
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