Question

【题目】已知函数， .

（Ⅰ）若函数为定义域上的单调函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，函数的两个极值点为， ，且.证明： .

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析。

【解析】试题分析：（Ⅰ）首先求得函数的定义域与导函数，然后结合判别式判断导函数的符号，得到函数的单调性，从而求得的取值范围；（Ⅱ）首先将问题转化为有两个不等的实根， ，由此得到的范围，从而得到的范围，然后根据的表达式构造新函数，由此通过求导研究新函数的单调性使问题得证．

（Ⅰ）函数的定义域为．　

由题意 ， ， .

①若，即，则恒成立，则在上为单调减函数；

②若，即，方程的两个根为， ，当时， ，所以函数单调递减，当时， ，所以函数单调递增，不符合题意．　

综上，若函数为定义域上的单调函数，则实数的取值范围为.

（Ⅱ）因为函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根，

即有两个不等的实根， ，

可得，且，

因为，则，可得.

，

.

令， ， ，

∵，

又， 时， ，

而，故在上恒成立，

所以在上恒成立，

即在上单调递减，

所以，得证．