题目内容

【题目】已知椭圆的右焦点为,右顶点为,设离心率为,且满足,其中为坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)过点(0,1)的直线与椭圆交于两点,求面积的最大值.

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析:Ⅰ)设椭圆的焦半距为c,结合题意分析可得,结合椭圆的几何性质可得a、b的值,代入椭圆的方程即可得答案;

Ⅱ)由题意分析可得直线lx轴不垂直,设其方程为y=kx+1,联立l与椭圆C的方程,可得(4k2+3)x2+8kx﹣8=0,结合根与系数的关系可以用k表示|MN|与Ol的距离,由三角形面积公式计算可得△OMN的面积 .,由基本不等式分析可得答案.

试题解析:

(Ⅰ)设椭圆的焦半距为,则.

所以,其中,又,联立解得.

所以椭圆的方程是.

(Ⅱ)由题意直线不能与轴垂直,否则将无法构成三角形.

当直线轴不垂直时,设其斜率为,那么的方程为.

联立与椭圆的方程,消去,得.

于是直线与椭圆由两个交点的充要条件是,这显然成立.

设点.

由根与系数的关系得.

所以 ,又的距离.

所以的面 .

,那么 ,当且仅当时取等号.

所以面积的最大值是.

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