题目内容
【题目】已知函数,
.
()设曲线
在
处的切线为
,到点
的距离为
,求
的值.
()若对于任意实数
,
恒成立,试确定
的取值范围.
()当
时,是否存在实数
,使曲线
在点
处的切线与
轴垂直?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)或
(2)
(3)不存在
【解析】
试题
(1)该问切点横坐标已知,则利用切点在曲线上,带入曲线即可得到切点的纵坐标,对
进行求导并得到在切点处的导函数值即为切线的斜率,有切线的斜率,切线又过切点,利用直线的点斜式即可求的切线的方程,利用点到直线的距离公式结合条件点
到切线的距离为
即可求的参数
的值.
(2)该问为恒成立问题可以考虑分离参数法,即把参数a与x进行分离得到,则
,再利用函数的导函数研究函数
在区间
的最大值,即可求的a的取值范围.
(3)根据切线的斜率即为曲线C在切点处的导函数值,即该问可以转化为是否存在使得
,令
,则
即存在
使得
,对
再次求导进行最值求解可得
,所以不存在
使得
.
试题解析:
(1),
.
在
处的切线斜率为
,
∴切线的方程为
,即
. 2分
又点到切线
的距离为
,所以
,
解之得,或
4分
(2)因为恒成立,
若恒成立;
若恒成立,即
,在
上恒成立,
设则
当时,
,则
在
上单调递增;
当时,
,则
在
上单调递减;
所以当时,
取得最大值,
,
所以的取值范围为
. 9分
(3)依题意,曲线的方程为
,令
所以,
设,则
,当
,
故在
上单调增函数,因此
在
上的最小值为
即
又时,
所以
曲线在点
处的切线与
轴垂直等价于方程
有实数解,但是
,
没有实数解,故不存在实数
使曲线
在点
处的切线与
轴垂直. 14分
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