Question

【题目】如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC=2AB=4， ，E是A1D1的中点．
（Ⅰ）在平面A1B1C1D1内，请作出过点E与CE垂直的直线l，并证明l⊥CE；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中所作直线l与CE确定的平面为α，求点C1到平面α的距离．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）如图所示，连接B1E，C1E，则直线B1E即为所求直线l ∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1⊥平面A1B1C1D1
∴B1E⊥CC1
∵B1C1=2A1B1=4，E是A1D1的中点
∴B1E⊥C1E
又CC1∩C1E=C1
∴B1E⊥平面CC1E
∴B1E⊥CE，即l⊥CE
（Ⅱ）如图所示，连接B1C，则平面CEB1即为平面α
过点C1作C1F⊥CE于F
由（Ⅰ）知B1E⊥平面CC1E，故B1E⊥C1F
∵C1F⊥CE，CE∩B1E=E
∴C1F⊥平面CEB1 ， 即C1F⊥平面α
∴直线CC1和平面α所成角为∠FCC1
∵在△ECC1中， ，且EC1⊥CC1
∴C1F=2
∴点C1到平面α的距离为2

【解析】（Ⅰ）连接B1E，C1E，则直线B1E即为所求直线l，推导出B1E⊥CC1 ， B1E⊥C1E，能证明l⊥CE．（Ⅱ）连接B1C，则平面CEB1即为平面α，过点C1作C1F⊥CE于F，则C1F⊥平面α，直线CC1和平面α所成角为∠FCC1 ， 由此能求出点C1到平面α的距离．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面垂直的性质(垂直于同一个平面的两条直线平行)．