题目内容
【题目】已知函数 (其中a为非零实数),且方程
有且仅有一个实数根. (Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)证明:函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.
【答案】解:(Ⅰ)由 ,得
, 又a≠0,即二次方程ax2﹣4x+4﹣a=0有且仅有一个实数根(且该实数根非零),
所以△=(﹣4)2﹣4a(4﹣a)=0,
解得a=2(此时实数根非零).
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:函数解析式 ,
任取0<x1<x2 ,
则f(x1)﹣f(x2)
=
= ,
∵0<x1<x2 , ∴x2﹣x1>0,2+x1x2>0,x1x2>0,
∴f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.
【解析】(Ⅰ)根据二次函数的性质得到△=0,求出a的值即可;(Ⅱ)根据函数单调性的定义证明函数的单调性即可.
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