题目内容
【题目】已知函数(其中, ).
(Ⅰ)当时,若对任意恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅱ)设函数的图象在两点、处的切线分别为、,若, ,且,求实数的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:由于,只考虑的情况,对函数求导研究单调性和极值,利用恒成立极值原理求出的范围;由于两点切线垂直其斜率乘积等于,利用导数的几何意义表示出斜率的关系,由于函数为分段函数,所以针对与的大小关系不同进行讨论,求出的最值.
试题解析:(Ⅰ)依题意:当, 时,
.
, ,且, .
0 | ||||
单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
函数在上的最小值为 .
要令恒成立,只需恒成立,即: 或(舍去).
又, .
实数的取值范围是.
(Ⅱ)由可得: ,
而, .
当时,则
.
即: ,矛盾.
当时,则 .
.
, , .
即: ,令,则(),
.
设,则.
0 | ||||
单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
函数的最小值为.实数的最小值为.
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