题目内容
【题目】已知函数
(1)当时,求
的单调区间;
(2)令,区间
,
为自然对数的底数。
(ⅰ)若函数在区间
上有两个极值,求实数
的取值范围;
(ⅱ)设函数在区间
上的两个极值分别为
和
,
求证: .
【答案】(1)增区间,减区间
,(2)详见解析
【解析】试题分析:(1)求导写出单调区间;(2)(ⅰ)函数 在区间D上有两个极值,等价于
在
上有两个不同的零点,令
,得
,通过求导分析得
的范围为
;(ⅱ)
,得
,由分式恒等变换得
,得
,要证明
,只需证
,即证
,
令 ,
,通过求导得到
恒成立,得证。
试题解析:
(1)当时,
,
所以
若 ,则
所以的单调区增区间为
若则
所以的单调区增区间为
(2)(ⅰ)因为 ,
所以 ,
,
若函数 在区间D上有两个极值,等价于
在
上有两个不同的零点,
令 ,得
,
设 ,令
|
|
|
| ||
| 大于0 | 0 | 小于0 | ||
0 | 增 |
| 减 |
|
所以 的范围为
(ⅱ)由(ⅰ)知,若函数在区间D上有两个极值分别为
和
,不妨设
,则
,
所以
即 ,
要证 ,只需证
,即证
,
令 ,即证
,即证
,
令 ,因为
,
所以 在
上单调增,
,所以
,
即 所以
,得证。
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