题目内容
已知函数,其中m,a均为实数.
(1)求的极值;
(2)设,若对任意的,恒成立,求的最小值;
(3)设,若对任意给定的,在区间上总存在,使得成立,求的取值范围.
(1)求的极值;
(2)设,若对任意的,恒成立,求的最小值;
(3)设,若对任意给定的,在区间上总存在,使得成立,求的取值范围.
(1)极大值为1,无极小值;(2)3-;(3).
试题分析:(1)求的极值,就是先求出,解方程,此方程的解把函数的定义域分成若干个区间,我们再确定在每个区间里的符号,从而得出极大值或极小值;(2)此总是首先是对不等式恒成立的转化,由(1)可确定在上是增函数,同样的方法(导数法)可确定函数在上也是增函数,不妨设,这样题设绝对值不等式可变为
,整理为,由此函数在区间上为减函数,则在(3,4)上恒成立,要求的取值范围.采取分离参数法得恒成立,于是问题转化为求在上的最大值;(3)由于的任意性,我们可先求出在上的值域,题设“在区间上总存在,使得
成立”,转化为函数在区间上不是单调函数,极值点为(),其次,极小值,最后还要证明在上,存在,使,由此可求出的范围.
试题解析:(1),令,得x=1. 1分
列表如下:
x | (-∞,1) | 1 | (1,+∞) |
+ | 0 | - | |
g(x) | ↗ | 极大值 | ↘ |
∵g(1)=1,∴y=的极大值为1,无极小值. 3分
(2)当时,,.
∵在恒成立,∴在上为增函数. 4分
设,∵>0在恒成立,
∴在上为增函数. 5分
设,则等价于,
即.
设,则u(x)在为减函数.
∴在(3,4)上恒成立. 6分
∴恒成立.
设,∵=,xÎ[3,4],
∴,∴<0,为减函数.
∴在[3,4]上的最大值为v(3)=3-. 8分
∴a≥3-,∴的最小值为3-. 9分
(3)由(1)知在上的值域为. 10分
∵,,
当时,在为减函数,不合题意. 11分
当时,,由题意知在不单调,
所以,即.① 12分
此时在上递减,在上递增,
∴,即,解得.②
由①②,得. 13分
∵,∴成立. 14分
下证存在,使得≥1.
取,先证,即证.③
设,则在时恒成立.
∴在时为增函数.∴,∴③成立.
再证≥1.
∵,∴时,命题成立.
综上所述,的取值范围为. 16分
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