题目内容

已知函数,其中ma均为实数.
(1)求的极值;
(2)设,若对任意的恒成立,求的最小值;
(3)设,若对任意给定的,在区间上总存在,使得成立,求的取值范围.
(1)极大值为1,无极小值;(2)3-;(3)

试题分析:(1)求的极值,就是先求出,解方程,此方程的解把函数的定义域分成若干个区间,我们再确定在每个区间里的符号,从而得出极大值或极小值;(2)此总是首先是对不等式恒成立的转化,由(1)可确定上是增函数,同样的方法(导数法)可确定函数上也是增函数,不妨设,这样题设绝对值不等式可变为
,整理为,由此函数在区间上为减函数,则在(3,4)上恒成立,要求的取值范围.采取分离参数法得恒成立,于是问题转化为求上的最大值;(3)由于的任意性,我们可先求出上的值域,题设“在区间上总存在,使得
成立”,转化为函数在区间上不是单调函数,极值点为),其次,极小值,最后还要证明在上,存在,使,由此可求出的范围.
试题解析:(1),令,得x=1.       1分
列表如下:
x
(-∞,1)
1
(1,+∞)

+
0
-
g(x)

极大值

 
g(1)=1,∴y=的极大值为1,无极小值.       3分
(2)当时,
恒成立,∴上为增函数.       4分
,∵>0在恒成立,
上为增函数.       5分
,则等价于

,则u(x)在为减函数.
在(3,4)上恒成立.       6分
恒成立.
,∵=xÎ[3,4],
,∴<0,为减函数.
在[3,4]上的最大值为v(3)=3-.       8分
a≥3-,∴的最小值为3-.       9分
(3)由(1)知上的值域为.       10分

时,为减函数,不合题意.       11分
时,,由题意知不单调,
所以,即.①       12分
此时上递减,在上递增,
,即,解得.②
由①②,得.       13分
,∴成立.       14分
下证存在,使得≥1.
,先证,即证.③
,则时恒成立.
时为增函数.∴,∴③成立.
再证≥1.
,∴时,命题成立.
综上所述,的取值范围为.       16分
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