题目内容

4.已知△ABC中,a+b=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$,A=60°,B=45°,则△ABC的面积为$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$.

分析 由已知利用正弦定理可得$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$,解得:a=$\frac{\sqrt{6}b}{2}$,结合已知a+b=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$,可解得a,b的值,利用三角形面积公式及三角形内角和定理即可得解.

解答 解:∵A=60°,B=45°,解得:C=180°-A-B=75°,
∴由正弦定理可得:$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$,解得:a=$\frac{\sqrt{6}b}{2}$,
∵a+b=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$,
∴$\frac{\sqrt{6}b}{2}$+b=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$,解得:b=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}+1}$=$\sqrt{2}$,解得:a=$\sqrt{3}$,
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}×$sin75°=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$.
故答案为:$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$.

点评 本题主要考查了正弦定理,三角形内角和定理,三角形面积公式,两角和的正弦函数公式的应用,熟练掌握相关定理及公式是解题的关键,属于中档题.

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