题目内容
平面内动点P到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离,记点P的轨迹为曲线Γ.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)若点A,B,C是Γ上的不同三点,且满足++=0,证明:△ABC不可能为直角三角形.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)若点A,B,C是Γ上的不同三点,且满足++=0,证明:△ABC不可能为直角三角形.
(1)y2=4x(2)不可能是直角三角形
(1)由条件可知,点P到点F(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,所以点P的轨迹是以F(1,0)为焦点,x=-1为准线的抛物线,其方程为y2=4x.
(2)证明:方法一,假设△ABC是直角三角形,且∠A=90°,
A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则
=(x2-x1,y2-y1),=(x3-x1,y3-y1),且·=0,
所以(x2-x1)(x3-x1)+(y2-y1)(y3-y1)=0.
因为xi=(i=1,2,3),y1≠y2,y1≠y3,
所以(y1+y2)(y1+y3)+16=0.
又因为++=0,所以x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0,
所以y2y3=-16,①
又++=4(x1+x2+x3)=12,
所以(-y2-y3)2++=12,即++y2y3=6,②
由①②得+-16=6,即-22+256=0,③
因为Δ=(-22)2-4×256=-540<0.
所以方程③无解,从而△ABC不可能是直角三角形.
方法二,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由++=0,
得x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0.欲证△ABC不是直角三角形,只需证明∠A≠90°.
(ⅰ)当AB⊥x轴时,x1=x2,y1=-y2,从而x3=3-2x1,y3=0,
即点C的坐标为(3-2x1,0).
由于点C在y2=4x上,所以3-2x1=0,即x1=,
此时A,B,C(0,0),则∠A≠90°.
(ⅱ)当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为x=ty+m(t≠0),代入y2=4x,整理得y2-4ty-4m=0,则y1+y2=4t.
若∠A=90°,则直线AC的斜率为-t,同理可得y1+y3=-.
由y1+y2+y3=0,得y1=4t-,y2=,y3=-4t.
由x1+x2+x3=3,可得++=4(x1+x2+x3)=12.
从而++(-4t)2=12,
整理得t2+=,即8t4-11t2+8=0,④
Δ=(-11)2-4×8×8=-135<0.
所以方程④无解,从而∠A≠90°.
综合(ⅰ)(ⅱ)可知,△ABC不可能是直角三角形.
(2)证明:方法一,假设△ABC是直角三角形,且∠A=90°,
A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则
=(x2-x1,y2-y1),=(x3-x1,y3-y1),且·=0,
所以(x2-x1)(x3-x1)+(y2-y1)(y3-y1)=0.
因为xi=(i=1,2,3),y1≠y2,y1≠y3,
所以(y1+y2)(y1+y3)+16=0.
又因为++=0,所以x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0,
所以y2y3=-16,①
又++=4(x1+x2+x3)=12,
所以(-y2-y3)2++=12,即++y2y3=6,②
由①②得+-16=6,即-22+256=0,③
因为Δ=(-22)2-4×256=-540<0.
所以方程③无解,从而△ABC不可能是直角三角形.
方法二,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),由++=0,
得x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0.欲证△ABC不是直角三角形,只需证明∠A≠90°.
(ⅰ)当AB⊥x轴时,x1=x2,y1=-y2,从而x3=3-2x1,y3=0,
即点C的坐标为(3-2x1,0).
由于点C在y2=4x上,所以3-2x1=0,即x1=,
此时A,B,C(0,0),则∠A≠90°.
(ⅱ)当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为x=ty+m(t≠0),代入y2=4x,整理得y2-4ty-4m=0,则y1+y2=4t.
若∠A=90°,则直线AC的斜率为-t,同理可得y1+y3=-.
由y1+y2+y3=0,得y1=4t-,y2=,y3=-4t.
由x1+x2+x3=3,可得++=4(x1+x2+x3)=12.
从而++(-4t)2=12,
整理得t2+=,即8t4-11t2+8=0,④
Δ=(-11)2-4×8×8=-135<0.
所以方程④无解,从而∠A≠90°.
综合(ⅰ)(ⅱ)可知,△ABC不可能是直角三角形.
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