题目内容

平面内动点P到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离,记点P的轨迹为曲线Γ.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)若点ABCΓ上的不同三点,且满足=0,证明:△ABC不可能为直角三角形.
(1)y2=4x(2)不可能是直角三角形
(1)由条件可知,点P到点F(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,所以点P的轨迹是以F(1,0)为焦点,x=-1为准线的抛物线,其方程为y2=4x.
(2)证明:方法一,假设△ABC是直角三角形,且∠A=90°,
A(x1y1),B(x2y2),C(x3y3),则
=(x2x1y2y1),=(x3x1y3y1),且·=0,
所以(x2x1)(x3x1)+(y2y1)(y3y1)=0.
因为xi(i=1,2,3),y1y2y1y3
所以(y1y2)(y1y3)+16=0.
又因为=0,所以x1x2x3=3,y1y2y3=0,
所以y2y3=-16,①
=4(x1x2x3)=12,
所以(-y2y3)2=12,即y2y3=6,②
由①②得-16=6,即-22+256=0,③
因为Δ=(-22)2-4×256=-540<0.
所以方程③无解,从而△ABC不可能是直角三角形.
方法二,设A(x1y1),B(x2y2),C(x3y3),由=0,
x1x2x3=3,y1y2y3=0.欲证△ABC不是直角三角形,只需证明∠A≠90°.
(ⅰ)当ABx轴时,x1x2y1=-y2,从而x3=3-2x1y3=0,
即点C的坐标为(3-2x1,0).
由于点Cy2=4x上,所以3-2x1=0,即x1
此时ABC(0,0),则∠A≠90°.
(ⅱ)当ABx轴不垂直时,设直线AB的方程为xtym(t≠0),代入y2=4x,整理得y2-4ty-4m=0,则y1y2=4t.
若∠A=90°,则直线AC的斜率为-t,同理可得y1y3=-.
y1y2y3=0,得y1=4ty2y3=-4t.
x1x2x3=3,可得=4(x1x2x3)=12.
从而+(-4t)2=12,
整理得t2,即8t4-11t2+8=0,④
Δ=(-11)2-4×8×8=-135<0.
所以方程④无解,从而∠A≠90°.
综合(ⅰ)(ⅱ)可知,△ABC不可能是直角三角形.
练习册系列答案
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