Question

【题目】若数列{an2}是等差数列，则称数列{an}为“等方差数列”，给出以下判断：
①常数列是等方差数列；
②若数列{an}是等方差数列，则数列{an2}是等差数列；
③若数列{an}是等方差数列，则数列{an2}是等方差数列；
④若数列{an}是等方差数列，则数列{a2n}也是等方差数列，
其中正确的序号有（ ）
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①常数列既是等方差数列，又是等差数列；
依题an+12﹣an2=an2﹣an﹣12
（an+1﹣an）（an+1+an）=（an﹣an﹣1）（an+an﹣1）
又{an}为等差数列，设公差为d，
则﹣d（an+1+an﹣an﹣an﹣1）=02d2=0d=0
故{an}是常数列．
②③：∵{an}是等方差数列，∴an2﹣an﹣12=p（p为常数）得到{an2}为首项是a12 ， 公差为p的等差数列；
∴{an2}是等差数列，故②正确，③不正确；
④：数列{an}中的项列举出来是，a1 ， a2 ， …，an ， …，a2n ， …
数列{a2n}中的项列举出来是，an ， a2n ， …，a3n ， …，
∵（an+12﹣an2）=（an+22﹣an+12）=（an+32﹣an+22）=…=（a2n2﹣a2n﹣12）=p
∴（an+12﹣an2）+（an+22﹣an+12）+（an+32﹣an+22）+…+（a2n2﹣a2n﹣12）=kp
∴（a2n+12﹣a2n2）=2p
∴{a2n}（k∈N* ， k为常数）是等方差数列；故④正确．
故选：B．
根据“等方差数列”的定义，我们逐一判断可得答案．