题目内容

【题目】如图,正三角形ABC的边长为2,D,E,F分别在三边AB,BC和CA上,且D为AB的中点,.

(1)当时,求的大小;

(2)求的面积S的最小值及使得S取最小值时的值.

【答案】(1)θ60;(2)当θ45时,S取最小值.

【解析】

试题分析:本题主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,在中,,而在中,利用正弦定理,用表示DE,在中,利用正弦定理,用表示DF,代入到式中,再利用两角和的正弦公式展开,解出,利用特殊角的三角函数值求角;第二问,将第一问得到的DF和DE代入到三角形面积公式中,利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式,利用正弦函数的有界性确定S的最小值.

BDE中,由正弦定理得

ADF中,由正弦定理得 4分

tanDEF=,得,整理得

所以θ60 6分

(2)SDE·DF=

10分

当θ45时,S取最小值 12分

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