题目内容
【题目】设,
,函数
.
(Ⅰ)设不等式的解集为C,当
时,求实数
取值范围;
(Ⅱ)若对任意,都有
成立,试求
时,
的值域;
(Ⅲ)设,求
的最小值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
.(Ⅲ)当
时,函数的最小值为
;当
时,函数的最小值为
;当
时,函数的最小值为
【解析】
(Ⅰ)根据,且
,可知满足题意的条件为使函数
与
轴的两个交点横坐标
,可得关于m的不等式组,解不等式组即可得m的取值范围;
(Ⅱ)根据可得对称轴,即可求得m的值。则二次函数在B集合内的值域即可求出;
(Ⅲ)对分类讨论,在
的不同取值范围下讨论
的单调性,即可求得在
不同取值范围时的最小值。
(Ⅰ),因为
,二次函数
图象
开口向上,且恒成立,故图象始终与
轴有两个交点,由题意,要使这两个
交点横坐标,当且仅当
, 解得
(Ⅱ)对任意都有
,所以
图象关于直线
对称
所以,得
所以为
上减函数.
;
.
故时,
值域为
.
(Ⅲ)令,则
(i)当时,
,
当,则函数
在
上单调递减,
从而函数在
上的最小值为
.
若,则函数
在
上的最小值为
,且
.
(ii)当时,函数
若,则函数
在
上的最小值为
,且
若,则函数
在
上单调递增,
从而函数在
上的最小值为
.
综上,当时,函数
的最小值为
当时,函数
的最小值为
当时,函数
的最小值为
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