题目内容
【题目】已知椭圆方程为,射线
与椭圆的交点为M,过M作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于A,B两点(异于M).
(1)求证:直线AB的斜率为定值;
(2)求面积的最大值。
【答案】(1)见解析;(2)。
【解析】
(1)先求出点,结合题意设直线MA的方程为
,解方程组得到
,同理得到
,进而得到
,为定值.(2)由(1)可设直线AB的方程为
,与椭圆方程联立得到关于
的方程,结合判别式可得
.再由(1)可得点
到直线AB的距离为
,
,
进而求得的面积,最后结合基本不等式可得所求.
(1)证明:由,解得
.
∴.
∵过M作的两条直线斜率都存在,不防设直线MA的斜率为,且
,
则直线MA的方程为,
由消去
,
∴,
∴.
同理得直线MB的方程为,可得
.
∴,为定值.
(2)解:由(1)设直线AB的方程为,
由消去
整理得
,
∵直线AB与椭圆交于两点,
∴,
解得.
又点到直线AB的距离为
,
=
.
设的面积为S,
则,
当且仅当,即
时等号成立.
∴面积的最大值为
.
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