题目内容
【题目】已知函数
（
，且
）.
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）求函数
在
上的最大值.
【答案】（Ⅰ）
的单调增区间为
，单调减区间为
.（Ⅱ）当
时， 
；当
时， 
.
【解析】【试题分析】(I)利用
的二阶导数来研究求得函数
的单调区间.(II) 由（Ⅰ）得
在
上单调递减，在
上单调递增，由此可知
.利用导数和对
分类讨论求得函数在
不同取值时的最大值.
【试题解析】
（Ⅰ）
，
设
，则
.
∵
， 
，∴
在
上单调递增，
从而得
在
上单调递增，又∵
，
∴当
时， 
，当
时， 
，
因此， 
的单调增区间为
，单调减区间为
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
在
上单调递减，在
上单调递增，
由此可知
.
∵
， 
，
∴
.
设
，
则
.
∵当
时， 
，∴
在
上单调递增.
又∵
，∴当
时， 
；当
时， 
.
①当
时， 
，即
，这时， 
；
②当
时， 
，即
，这时， 
.
综上， 
在
上的最大值为：当
时， 
；
当
时， 
.
[点睛]本小题主要考查函数的单调性,考查利用导数求最大值. 与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与
轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系
中，圆
的普通方程为
. 在以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线
的极坐标方程为
.
（Ⅰ） 写出圆 的参数方程和直线的直角坐标方程；
（ Ⅱ ） 设直线 与轴和
轴的交点分别为
，
为圆上的任意一点，求
的取值范围.
【答案】(1)
;
.
(2)
.
【解析】【试题分析】(I)利用圆心和半径,写出圆的参数方程,将圆的极坐标方程展开后化简得直角坐标方程.(II)求得
两点的坐标, 设点
，代入向量
,利用三角函数的值域来求得取值范围.
【试题解析】
（Ⅰ）圆
的参数方程为
（
为参数）.
直线
的直角坐标方程为
.
（Ⅱ）由直线的方程可得点
，点
.
设点，则 
.
.
由（Ⅰ）知，则 
.
因为
，所以
.
特高级教师点拨系列答案
【题目】2018年4月4日召开的国务院常务会议明确将进一步推动网络提速降费工作落实，推动我国数字经济发展和信息消费，今年移动流量资费将再降
以上，为响应国家政策，某通讯商计划推出两款优惠流量套餐，详情如下：
套餐名称 | 月套餐费/元 | 月套餐流量/M |
A | 30 | 3000 |
B | 50 | 6000 |
这两款套餐均有以下附加条款：套餐费用月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就会自动帮用户充值
流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统再次自动帮用户充值流量，资费20元，以此类推.此外，若当月流量有剩余，系统将自动清零，不可次月使用.
小张过去50个月的手机月使用流量（单位：M）的频数分布表如下：
月使用流量分组 |
|
|
|
|
|
|
频数 | 4 | 5 | 11 | 16 | 12 | 2 |
根据小张过去50个月的手机月使用流量情况，回答以下几个问题：
（1）若小张选择A套餐，将以上频率作为概率，求小张在某一个月流量费用超过50元的概率；
（2）小张拟从A或B套餐中选定一款，若以月平均费用作为决策依据，他应订哪一种套餐？说明理由.
【题目】某工厂有两台不同机器A和B生产同一种产品各10万件,现从各自生产的产品中分别随机抽取二十件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如下所示：
该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到
的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到
的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到
的产品，质量等级为合格．将这组数据的频率视为整批产品的概率．
（1）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记
为来自B机器生产的产品数量，写出的分布列，并求的数学期望；
（2）完成下列
列联表，以产品等级是否达到良好以上（含良好）为判断依据，判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为B机器生产的产品比A机器生产的产品好；
A生产的产品 | B生产的产品 | 合计 | |
良好以上（含良好） | |||
合格 | |||
合计 |
（3）已知优秀等级产品的利润为12元/件，良好等级产品的利润为10元/件，合格等级产品的利润为5元/件，A机器每生产10万件的成本为20万元，B机器每生产10万件的成本为30万元；该工厂决定：按样本数据测算，两种机器分别生产10万件产品，若收益之差达到5万元以上，则淘汰收益低的机器，若收益之差不超过5万元，则仍然保留原来的两台机器.你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗？
