Question

【题目】若函数满足：在定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“的饱和函数”.给出下列四个函数：①；②； ③；④.其中是“的饱和函数”的所有函数的序号是______________.

Answer 1

【答案】②④

【解析】①f（x）=，D=（﹣∞，0）∪（0，+∞），

若f（x）=是“1的饱和函数”，

则存在非零实数x0，使得=，

即x02+x0+1=0，

因为此方程无实数解，

所以函数f（x）=不是“1的饱和函数”．

②f（x）=2x，D=R，则存在实数x0，使得2x0+1=2x0+2，解得x0=1，

因为此方程有实数解，

所以函数f（x）=2x是“1的饱和函数”．

③f（x）=lg（x2+2），若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）

则lg[（x+1）2+2]=lg（x2+2）+lg3

即2x2﹣2x+3=0，

∵△=4﹣24=﹣20＜0，故方程无解．

即f（x）=lg（x2+2）不是“1的饱和函数”．

④f（x）=cosπx，存在x=，使得f（x+1）=f（x）+f（1），

即f（x）=cosπx是“1的饱和函数”．

故答案为：②④．