题目内容
7．求函数f（x）=$\frac{\frac{1}{co{s}^{2}x}-tanx}{\frac{1}{co{s}^{2}x}+tanx}$+3的值域．分析 利用同角三角函数的基本关系式化简，可得f（x）=$\frac{\frac{1}{co{s}^{2}x}-tanx}{\frac{1}{co{s}^{2}x}+tanx}$+3=$\frac{4}{sin2x+2}+2$，由三角函数的有界性求得答案．
解答 解：原函数的定义域为{x|x≠k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z}．
f（x）=$\frac{\frac{1}{co{s}^{2}x}-tanx}{\frac{1}{co{s}^{2}x}+tanx}$+3=$\frac{\frac{1}{co{s}^{2}x}-\frac{sinx}{cosx}}{\frac{1}{co{s}^{2}x}+\frac{sinx}{cosx}}$+3
=$\frac{\frac{1-sinxcosx}{co{s}^{2}x}}{\frac{1+sinxcosx}{co{s}^{2}x}}$+3=$\frac{1-sinxcosx}{1+sinxcosx}$+3
=$\frac{1-\frac{1}{2}sin2x}{1+\frac{1}{2}sin2x}+3$=$-\frac{sin2x-2}{sin2x+2}$+3
=$-\frac{sin2x+2-4}{sin2x+2}+3$=$\frac{4}{sin2x+2}+2$．
∵x≠k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，∴2x≠2kπ+π，k∈Z．
∴sin2x+2∈[1，3]，
则$\frac{4}{sin2x+2}+2∈$[$\frac{6}{3}，6$]．
故函数f（x）=$\frac{\frac{1}{co{s}^{2}x}-tanx}{\frac{1}{co{s}^{2}x}+tanx}$+3的值域为[$\frac{6}{3}，6$]．
点评 本题考查三角函数的化简与求值，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．
