Question

已知函数是定义在R上的奇函数，且，在[0，2]上是增函数，则下列结论：①若，则；②若
且③若方程在[-8，8]内恰有四个不同的角，则，其中正确的有  （   ）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

Answer 1

D

解：由f（x+4）=-f（x）可得f（x+8）=f（x），此函数是以8为周期的周期函数，
又f（x）是奇函数，且在[0，2]上为增函数
∴f（x）在[-2，0]上也是增函数
当x∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，且由已知可得f（x-4）=-f（x），则可得函数f（x）在[2，4]上单调递减，根据奇函数的对称性可知，f（x）在[-4，-2]上也是单调递减
①若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=4，则0＜x₁＜4-x₁＜4，即0＜x₁＜2，-2＜x₁-4＜0
由f（x）在[0，2]上是增函数可得f（x）在[-2，0]上也是增函数，则f（x₁）＞f（x₁-4）=f（-x₂）=-f（x₂），则f（x₁）+f（x₂）＞0；故①正确
②若0＜x₁＜x₂＜4，且x₁+x₂=5，则0＜x₁＜5-x₁＜4，即1＜x₁＜5/2，f（x）在[0，2]上是增函数，由图可知：f（x₁）＞f（x₂）；故②正确；
③四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（-6），另两个交点的横坐标之和为2×2，此时x₁+x₂+x₃+x₄=-12+4=-8，故③正确；
故答案为①②③